Oriundo de Luque (Córdoba), Blázquez llegó a Talleres en 2013. En 2018 finalizó sus estudios secundarios, siendo abanderado en el Colegio Deodoro Roca.
Joaquín integró el Plantel Bicampeón de la Reserva 2017/2018 y ha formado parte en varias oportunidades de las Selecciones Juveniles de Argentina Sub 20 y Sub 23. Fue protagonista del Mundial de Polonia Sub 20 en el 2019 y se coronó campeón del Torneo Pre Olímpico de Colombia 2020.
En noviembre de 2017 firmó su primer contrato con el club, con tan solo 16 años. Durante noviembre de 2017, Joaquín viajó a Inglaterra junto a integrantes del Departamento Deportivo de Talleres. Allí el arquero albiazul vivió una experiencia inolvidable entrenando durante una semana en el Liverpool Football Club de la Premier League.
En el verano de 2018 realizó su primera pretemporada con el primer equipo de Talleres en la ciudad de Salta. En febrero de ese año, fue parte del plantel que disputó la Copa Libertadores Sub-20 en Montevideo, donde Talleres logró el quinto puesto.
Tras jugar a préstamo durante 2019 en el Valencia de España, se sumó nuevamente al plantel Superior Albiazul.
El 19 de diciembre de 2020, el joven arquero formado en las divisiones inferiores del Matador debutó en la Primera División en el empate ante Atlético Tucumán.
Su último Club fue el Stade Brestois, equipo de la máxima categoría de la liga francesa. Blázquez se desempeñaba en conjunto francés desde julio del 2022.